표본을 분석하기 위해서 가장 쉽게 파악할 수 있는 표본평균, 표본분산, 표본비율을 알아야 한다.

eg 성적 비교

• A - 영어 : 80점 / 평균 90점
• B - 수학 : 60점 / 평균 50점

-> 실제 점수가 낮더라도 평균보다 높은 점수를 받은 B가 공부를 더 잘했다고 할 수 있다

eg 점수가 60점 미만이면 과락으로 진급 누락일 때

구분	A반	B반
반 평균	70	70
점수 분포	65~75	0~100

-> 진급 기준으로 보면 과락 없이 모두 통과한 A반이 더 잘했다고 볼 수 있다

표준화

정규분포(Normal distribution)

• 표본분포 중 가장 단순하고 많이 나타나는 형태
• 어떤 사건이 일어난 빈도(frequency)를 계산해서 그래프로 봤을 때 중심(평균, $\mu$)을 기준으로 좌우 대칭되는 분포 형태
• 1,2회 정도의 빈도가 낮은 사건을 횟수($n$)를 반복해서 $n \rightarrow \infty$하면 정규분포 그래프의 사건이 발생

정규분포 그래프 | 출처 : https://images.app.goo.gl/PRp4MYsRNZQ62Ebp6

표준화(Standardization)

REF 정규분포 표준화 하는 법

• 단순한 현상은 정규분포만으로 충분하지만 실제 연구에서는 복잡한 관계에 대한 분석 결과가 필요
• 여러 특성에 대한 분석 결과를 기준점을 동일하게 맞춰 서로 비교하기 쉽게 만드는 과정

출처 : https://brainstudy.tistory.com/4

표본의 분포

구분	특징	이름	설명
표본평균의 확률분포	평균과 관련된 분포	$z$분포	표본 개수가 충분한 경우 사용
		$t$분포	표본 개수가 충분하지 못한 경우 사용
표본분산의 확률분포	분산의 추론과 관련된 분포	$x^2$분포	한 개의 분산(표본)을 추론한 분포 직접적으로 조사 대상 설명 가능
		$F$분포	두 개의 분산(표본)을 추론하는 분포 직접 이용하기보다는 추론된 분산을 이용
표본비율의 확률분포	비율과 관련된 분포	$\hat{p}$분포	모비율을 추정하기 위해 사용

표본 확률분포의 종류

표본평균의 확률분포

$z$분포

표준정규분포, Standard normal dsitribution

• 표본의 개수가 충분(30개 이상)할 때 표준화 과정을 거친 정규분포
• 평균 = 0, 분산 = 1

\[z=\frac{X-\mu}{\sigma / \sqrt{n}}\]

($X$: 측정치, $\mu$: 평균, $\sigma / \sqrt{n}$: 표준오차)

$t$분포

스튜던트 $t$분포, Student’s t-distribution

• 모집단이 정규분포이고, 표본이 충분치 않은 경우 표본이 충분치 않아 정규분포를 이루지 못할 가능성이 크기 때문에 정규분포 대신 사용
• 평균 = 1, 분산 > 1

\[t_{n-1}=\frac{X-\mu}{s/ \sqrt{n}}\]

($X$: 측정치, $\mu$: 평균, $s/ \sqrt{n}$: 표준오차, $n-1$: 자유도)

$z$분포와 $t$분포의 관계

$z=\frac{X-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \quad$ vs $\quad t_{n-1}=\frac{X-\mu}{s/ \sqrt{n}}$

• 두 식을 비교해보면 $n$과 $n-1$을 제외하고 동일한 식
• $n \rightarrow \infty$면 $t$분포가 $z$분포로 수렴해 결국 동일한 분포가 된다

$z$분포와 $t$분포의 비교 | 출처 : 제대로 시작하는 기초 통계학(p.42)

표본분산과 확률분포

$x^2$분포

카이제곱분포, chi-squared distribution

• 신뢰구간이나 가설검정 등의 모델에서 자주 등장
• 모분산의 추정이나 계수 값을 해석하는데 사용
• 정규분포로부터 도출 -> $z$분포(표준정규분포)의 제곱에 대한 분포 –> 항상 양수
• 확률변수 $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n$ : 표준정규분포이면서 독립이라면
  • $x_1^2, x_2^2, x_3^2, \cdots, x_n^2$ : 새로운 확률변수를 구성 -> 자유도가 $n$인 $x^2$분포
  • $x^2$분포 = 확률변수 $\sum_{i=1}^{n}x_i^2$의 분포

$x^2$분포의 특성 | 출처 : 제대로 시작하는 기초 통계학(p.43)

$F$분포

F-distribution 또는 Snedecor’s F distribution 또는 Fisher–Snedecor distribution

• 두 카이제곱분포를 각각의 자유도로 나눈 후 다시 서로 나눈 값
• 분산의 동일성 여부를 판단하는 수단으로 사용
• 두 개의 분산에 관한 추론 : $F_{(v_1, v_2)}$ ($v_1, v_2$ : $X^2$에 대한 분산)*
  • $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n$과 $y_1, y_2, y_3, \cdots, y_n$이 서로 독립
  • 각각 n, m의 자유도를 가지는 $X^2$분포
  • -> $\frac{v_x}{v_y}$ : $F$분포를 따르게 됨
• 분산이 같은 모집단에서 $x_n, y_n$만큼 표본 추출

  • 각각의 분산

    \[v_1 = \frac{s_1}{(n-1)}, v_2 = \frac{s_2}{(m-1)}\]

  • 각 비율

    \[F = \frac{v_1}{v_2}\]

    : 자유도 $(n-1), (m-1)$인 $F$분포

$F$분포의 특성 | 출처 : 제대로 시작하는 기초 통계학(p.44)

• $F$분포의 특성
  • $v_1 = v_2$(등분산) -> 1을 기준으로 값이 결정 ($F_{(50,50)}$ 그래프 참고)
  • $v_1 \neq v_2$ -> 1에서 멀어짐
  • 표본의 개수가 많을수록 1과 가까운 분포

표본비율의 확률분포

• 경우에 따라 비율이 평균보다 많이 사용
• eg. 점수가 700점 이상일 확률, 시험 1회 응시의 합격률 등과 같이 표본비율이 사용됨

$\hat{p}$분포

• 모비율 추정을 위해 사용
• Yes/No 형태의 어느 한 사건이 발생하는 베르누이 시행의 이항분포를 활용하여 표본비율의 분포를 구할 수 있다

REF
제대로 시작하는 기초 통계학 | 노경섭 지음
통계시각화 matplotlib : Python으로 시각화를 해보자!