확률변수와 확률분포

확률변수(random variable, X)

• 실험의 결과(사건)에 실수값을 대응시키고 그 값에 확률을 부여한 것
• 실험을 마친 후 어떤 결과가 몇 번 발생했는지 이 결과의 수에 확률이 부여된 것

이산 확률변수(discrete random variable)

• 셀 수 있는 특정한 값들로 구성되거나 일정한 범위로 나타나는 것
• 독립적으로 발생하는 사건에 대한 확률변수
• 사건에 대한 실수값에 확률을 부여한 것 → 각 사건의 확률을 적시하는 확률변수를 기준으로 합산하여 계산
• eg. 동전 던지기, 주사위 던지기, 윳놀이 등과 같이 모두 독립적으로 발생하는 사건에서 이산 확률변수 확인 가능

연속 확률변수(continuous random variable)

• 연속형이거나 무한한 경우와 같이 셀 수 없는 것
• 발생하는 각 사건을 단일한 독립사건으로 구분하기에는 경우의 수가 너무 많아서 범위로 표현되는 확률변수
• eg. 시간, 온도, 길이 등과 같이 셀 수 없는 결과를 나타내는 확률변수

확률분포(probability distribution)

• 확률변수 X의 확률분포 : 확률변수 $X$가 취하는 값 $x_i$와 $X$가 $x_i$를 취할 확률 $p_i$의 대응 관계

확률분포표

• 확률변수와 확률분포의 관계를 표로 나타낸 것

확률변수	변수 X가 취할 수 있는 모든 값	$X=x_i$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$\cdots$	$x_n$
확률분포	X가 이들 값을 취할 확률	$P(X=x_i)$	$p_1$	$p_2$	$p_3$	$\cdots$	$p_n$

확률함수

• 확률변수와 확률분포의 관계를 식으로 나타낸 것
• 확률 P를 가진 어떤 사건이 n회 시행 중 x회 나타날 때, 확률변수 x와 이에 대응되는 P(x)의 관계를 나타낸 함수
• 조건
  • 표본의 개수가 많아야 함 : 최소 30개 이상
  • 인문/사회 과학 : 표본의 크기가 클수록 전체 모집단에 근접

\[P(X=x_i)=p_i \quad (i=1,2,3,\cdots,n)\]

• 확률함수의 성질
  1. $0 \leq P(X=x_i) \leq 1$
  2. $p_1 + p_2 + p_3 + \cdots + p_n = 1$
  3. $P(X=x_i ~~ or ~~ X=x_j) = P(X=x_i) + P(X=x_j) \quad (i \neq j)$

사건, 확률변수, 확률, 확률함수의 관계

REF 표본공간, 사건 그리고 확률 | 사용자 필로홍

두 개의 주사위 합의 확률변수와 확률분포 구하기

• 두 개의 주사위 A, B를 동시에 던질 때
  • $i$ : 주사위 A의 눈
  • $j$ : 주사위 B의 눈
  • ($i, j$) : 결과

표본공간 $S$

sample space

• 측정 가능한 모든 결과들의 집합
• 근원사건

\[S = \begin{Bmatrix} (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)\\ (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)\\ \cdots\\ (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) \end{Bmatrix}\]

• 두 주사위 A,B의 눈의 합
  

사건 $E$

event

• 특정 조건이 발생하는 발생하는 경우
• 표본공간의 부분집합으로 특정 조건을 만족하는 표본점들의 집합

확률 $P(X)$

probability

• 특정 사건이 발생하는 비율

\[P(X) = \frac{X\,사건이\,일어나는\,경우의\,수}{전체\,사건의\, 경우의\, 수}\]

eg. 눈의 합이 4인 경우

• $X=4$인 사건 : $\{(1,2), (2,2), (3,1)\}$ ⇒ 총 3개
• $X=4$일 확률 : $P(X=4)=\frac{3}{36}$

확률변수 $X$

• 어떤 결과(사건)에 실수값을 대응시키고 그 값에 확률을 부여한 것
• 눈의 합 $X$가 취할 수 있는 값 : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

확률분포

확률변수 $X$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	합
확률 $P(X)$	$\frac{1}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{1}{36}$	1

대응관계 그래프

확률함수 $$

• 대응관계를 식으로 나타낸 것
  \(p(x=k)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{36}(k-1) \quad (2 \leq k \leq 7) \\ \frac{1}{36}(13-k) \quad (8 \leq k \leq 12) \end{matrix}\right.\)
  또는
  \(P(x=k) = \frac{6-|k-7|}{36} \quad (2 \leq k \leq 12)\)

두 개의 동전을 던져 앞면이 나오는 동전의 개수 X의 확률분포와 확률함수 구하기

• H : 앞면, T : 뒷면

사건 $E$

• HH, HT, TH, TT > 총 4가지 사건

확률변수 $X$

: 앞면이 몇 번 나올 것인가를 기준으로 사건 분류

• HH : 앞면이 2번 발생 → $X=2$
• HT, TH : 앞면이 1번 발생 → $X=1$
• TT : 앞면이 없음 → $X=0$

$X$	2	1	0	합
$P(X)$	$\frac{1}{4}$	$\frac{2}{4}$	$\frac{1}{4}$	1

확률 $P(X)$

• 앞면 2번 : 4번 중 1번 발생 ⇒ $\frac{1}{4}$
• 앞면 1번 : 4번 중 2번 발생 ⇒ $\frac{1}{2}$

확률함수 $P(X=x)$

• 확률변수 2 : H가 나올 확률 $\frac{1}{2}$이 2번 동시에 발생하므로 곱하기 ⇒ $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
• 확률변수 1 : 확률변수가 1인 경우는 각각해서 2번 발생하므로 더하기 ⇒ $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
• 확률변수 0 : T가 나올 확률 $\frac{1}{2}$이 2번 동시 발생하므로 곱하기 ⇒ $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

$E$	$X$	$P(X)$	$P(X=x)$
HH HT TH TT	2 1 0	$\frac{1}{4}$ $\frac{1}{2}$	$P(x=2)=\frac{1}{4}$ $P(x=1)=\frac{1}{2}$ $P(x=0)=\frac{1}{4}$
사건	확률변수	확률	확률함수

동전 던지기의 사건, 확률변수, 확률, 확률함수의 관계

흰 공 3개, 초록 공 4개

• 공을 하나씩 두 번 꺼낼 때 흰 공이 나오는 개수 $X$
• 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다
• W:흰 공, G: 초록 공

1. $X$의 확률분포를 구하라
2. $P(X \geq1)$을 구하라

사건과 확률변수

• 흰 공이 나오는 사건의 확률변수 구하기

  E	GG	GW	WG	WW
  X	0	1	1	2

  → $X$ = 0, 1, 2 ⇒ 3가지

확률

\[P(X=0) = \frac{_4C_2}{_7C_2}, \; P(X=1) = \frac{_4C_1 \times _3C_1}{_7C_2}, \; P(X=2) = \frac{_2C_2}{_7C_2}\]

REF 경우의 수 - 순열, 조합

확률분포

X	0	1	2	합
P(X)	$\frac{2}{7}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{1}{7}$	1

⇒ 흰 공이 나오는 확률분포 : 흰 공이 한 번 이상 포함된 경우

\[P(X \geq 1) = P(X=1) + P(X=2)\\ \qquad \qquad = \frac{4}{7} + \frac{1}{7} = \frac{5}{7}\]

REF
수학의 정석 확률과 통계